“期望” 是什么？
期望（数学期望）的详细解释与示例1. 期望的定义2. 期望的意义
3. 计算步骤与示例示例1：掷骰子的期望示例2：抽奖活动的期望收益示例3：投资决策的期望回报
4. 期望的性质5. 期望的常见误区6. 实际应用场景总结
期望（数学期望）的详细解释与示例
1. 期望的定义
数学期望（Expected Value）是概率论中衡量随机变量平均取值的核心指标，表示在大量重复试验中，随机变量取值的长期平均值。其本质是加权平均，权重为每个可能结果发生的概率。
公式： 对于离散型随机变量
X
X
X，其可能取值为
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
x_1, x_2, ..., x_n
x1,x2,...,xn，对应的概率为
P
(
x
1
)
,
P
(
x
2
)
,
.
.
.
,
P
(
x
n
)
P(x_1), P(x_2), ..., P(x_n)
P(x1),P(x2),...,P(xn)，期望
E
(
X
)
E(X)
E(X) 定义为：
E
(
X
)
=
∑
i
=
1
n
x
i
⋅
P
(
x
i
)
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
E(X)=i=1∑nxi⋅P(xi) 对于连续型随机变量，需用积分代替求和。
2. 期望的意义
长期视角：期望反映的是无限次重复试验后的平均结果，而非单次试验的必然值。决策工具：在投资、赌博等场景中，期望用于量化风险与收益的平衡。理论基石：期望是方差、协方差等其他统计量的基础。
3. 计算步骤与示例
示例1：掷骰子的期望
问题：计算一个均匀六面骰子点数的期望。 步骤：
列出所有可能结果：
x
i
=
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
x_i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
xi=1,2,3,4,5,6。确定概率：每面概率均为
1
6
\frac{1}{6}
61。计算期望：
E
(
X
)
=
1
⋅
1
6
+
2
⋅
1
6
+
⋯
+
6
⋅
1
6
=
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
6
6
=
3.5
E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + \cdots + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5
E(X)=1⋅61+2⋅61+⋯+6⋅61=61+2+3+4+5+6=3.5 结论：掷骰子的期望点数为3.5。尽管单次结果只能是整数，但长期平均会趋近3.5。
示例2：抽奖活动的期望收益
问题：某抽奖活动规则如下：
90%概率不中奖（收益0元）。10%概率中奖，奖金100元。 抽奖需支付15元参与费，是否值得参与？
步骤：
计算净收益的期望（未扣除成本）：
E
(
奖金
)
=
0
⋅
0.9
+
100
⋅
0.1
=
10
元
E(\text{奖金}) = 0 \cdot 0.9 + 100 \cdot 0.1 = 10 \text{元}
E(奖金)=0⋅0.9+100⋅0.1=10元扣除成本后的期望收益：
净期望
=
10
−
15
=
−
5
元
\text{净期望} = 10 - 15 = -5 \text{元}
净期望=10−15=−5元 结论：期望收益为负（-5元），长期参与会亏损，不值得参加。
示例3：投资决策的期望回报
问题：某股票投资有两种可能结果：
60%概率盈利200元。40%概率亏损100元。 求投资的期望收益，并判断是否值得投资。
步骤：
计算期望收益：
E
(
X
)
=
200
⋅
0.6
+
(
−
100
)
⋅
0.4
=
120
−
40
=
80
元
E(X) = 200 \cdot 0.6 + (-100) \cdot 0.4 = 120 - 40 = 80 \text{元}
E(X)=200⋅0.6+(−100)⋅0.4=120−40=80元分析： 尽管存在亏损风险，但期望收益为正（80元），长期多次投资平均每次获利80元，值得投资。
4. 期望的性质
线性性：
E
(
a
X
+
b
Y
)
=
a
E
(
X
)
+
b
E
(
Y
)
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)（
a
,
b
a, b
a,b为常数）。独立性：若
X
X
X 与
Y
Y
Y 独立，则
E
(
X
Y
)
=
E
(
X
)
E
(
Y
)
E(XY) = E(X)E(Y)
E(XY)=E(X)E(Y)。非乘性：一般情况下，
E
(
X
Y
)
≠
E
(
X
)
E
(
Y
)
E(XY) \neq E(X)E(Y)
E(XY)=E(X)E(Y)。
5. 期望的常见误区
误区1：期望等于最可能的结果。 纠正：期望是加权平均，未必对应实际可能值（如骰子期望3.5，但无法掷出3.5）。误区2：高期望一定优于低期望。 纠正：需结合方差（风险）。例如：
选项A：100%收益10元（期望=10元，方差=0）。选项B：50%收益20元，50%收益0元（期望=10元，方差=100）。 两者期望相同，但B风险更高。
6. 实际应用场景
保险定价：根据事故概率和赔付金额计算保费期望，确保盈利。游戏设计：调整道具掉落概率，控制玩家付费的期望收益。量化交易：通过历史数据计算策略的期望收益率，优化投资组合。
总结
期望是连接概率与现实的桥梁，通过加权平均量化不确定性下的平均结果。理解期望有助于在风险与收益之间做出理性决策，但需结合其他指标（如方差）全面评估风险。